Расчет разверток по Чебышеву

 В работе «О кройке одежды» [1] П. Л. Чебышев доказал возможность построения разверток плотнооблегающих оболочек из ткани для различных поверхностей. При этом он исходил из того, что нити основы и утка ткани в ее первоначальной плоской форме пересекаются между собой ортогонально и что при одевании поверхности ткани изменяются только углы между нитями, длина нитей остается та же. Чебышев также допускал, что при изменении прямоугольных ячеек ткани в параллелограммы ткань оказывает сопротивление при растяжении ее только вдоль нитей основы и утка. В соответствии с этим в оболочке из ткани, плотно облегающей поверхность, нити основы и утка натянуты силами, действующими вдоль их длины. Но для того, чтобы натянутые нити на поверхности находились в равновесии, они должны располагаться по геодезическим линиям. Это известное условие равновесия нитей на поверхности в общем случае может быть строго выполнено только одной нитью основы и одной нитью утка, так как направление всех нитей ткани не совпадает с геодезическими линиями на неразвертывающихся поверхностях. Отсюда, чтобы обеспечить равновесие нитей ткани на поверхности, Чебышев пришел к необходимости расположения двух пересекающихся нитей ткани по ортогональным геодезическим линиям. Он принял их за исходные оси координат на поверхности (х, у), считая координатами длину нитей основы и утка ткани (рис. IV-4). Нити ткани Чебышевым рассматриваются как координатные линии, образующие на поверхности криволинейную чебышевскую сеть, элементами которой являются бесконечно малые параллелограммы. Длина диагонали элементарного параллелограмма ds = √(dу² + dх² + 2cosφdydx) определяет расстояние между двумя соседними точками поверхности (см. рис. IV-4). Исходя из этого уравнения, Чебышев решил поставленную задачу об одевании поверхности тканью в виде следующих формул:
 

 х = S + 1/6(k²₀u² + k₀k₂u³ + 1/4k²₂u⁴)S³ + 1/8(k₀k₁u² + 1/2k₁k₂u³)S⁴ + . . .
 у = u - (1/2k₀u + 1/4k₂u²)S² + 1/6k₁uS³ + . . ., (1)

 где х и у - прямоугольные координаты, определяющие форму развертки оболочек из ткани на плоскости; S - кратчайшее расстояние от оси Оy до точек линии шва (границы) оболочки на поверхности (см. рис. IV-4); u - ордината точки пересечения линией кратчайшего расстояния - (S) оси Оy; k₀, k₁, k₂ - коэффициенты разложения в степенной ряд гауссовой кривизны поверхности в данной точке (х, у).

 Чтобы проверить указанные формулы, Чебышев определил по ним форму развертки оболочки для шара, состоящей из двух частей, и нашел простой способ ее построения дугами окружностей радиусов r и R (рис. IV-5).

 Эти радиусы определяются по формулам: r = 0,65Rш; R = 2,46Rш, при АВ = ВС; ОА = ОС = 0,5πRш; ОВ = 1,42Rш, где Rш - радиус шара.

 Раскрой оболочки производят, располагая нити основы и утка ткани по осям координат Ох, Оу.

 Экспериментальная проверка оболочек из разных тканей (канвы, бортовой парусины, шерстяных костюмных тканей) свидетельствует о возможности изготовления по разверткам Чебышева плотно облегающей оболочки из ткани для поверхности шара, состоящей из двух частей.

 Решением задачи об одевании поверхностей тканью после Чебышева занимались и другие математики.* Однако результаты их исследований не могут быть непосредственно использованы при конструировании одежды вследствие того, что они решали вопросы дифференциальной геометрии, в задачу которой не входит изучение методов определения оболочек из ткани. Вместе с этим их исследования показывают, что строгое решение задачи об одевании поверхностей приводит к значительным математическим осложнениям. Поэтому решать эту задачу для расчета разверток оболочек из тканей надо приближенными методами. Применение этих методов значительно упрощает решение задачи об одевании поверхности и обеспечивает высокую точность расчета разверток деталей одежды, так как их формование происходит при небольшом угле перекоса нитей ткани (15 - 18°). В данном параграфе изложены приближенные методы расчета разверток оболочек из тканей, разработанные на кафедре технологии швейного производства МТИЛП. Применение этих методов для расчета разверток деталей одежды рассмотрено в отдельном параграфе.

 Координаты S и u, входящие в формулы Чебышева, являются ортогональными геодезическими линиями; их можно определить непосредственным измерением поверхности с помощью геодезического угольника. Но несмотря на это, формулы Чебышева (1) не использовались при конструировании одежды, так как не были разработаны методы их применения для расчета разверток различных поверхностей. Эти формулы представляют собой степенные ряды, определяющие координаты разверток (х, у). Поэтому для приближенных расчетов формулы (1) можно упростить.

 Ограничиваясь двумя первыми членами рядов в формулах (1) и замечая, что в первой из них второй член может быть представлен в виде квадрата суммы, имеем х = S + 1/6(k₀u + 1/2k₂u²)²S³; у = u - 1/2(k₀u + 1/2k₂u²)²S². (2)

 Исключая из этих формул выражение k₀u + 1/2k₂u², получаем приближенное уравнение развертки оболочек из ткани для различных поверхностей. х = S + 2/3((u - y)² : S). (3)

 Для расчета разверток на основе этого уравнения необходимо определять на поверхности дополнительную геодезическую линию и (см. рис. IV-4). Эта линия является кратчайшим расстоянием между точками линии шва оболочки (D) и оси Ох (Е), расположенными на кратчайшем расстоянии S от оси Оу. При небольшом угле перекоса нитей ткани в оболочке дополнительная геодезическая линия u и соответствующая ей ордината у приблизительно равны между собой, так как они располагаются на поверхности на небольшом расстоянии друг от друга и соединяют одну и ту же точку линии шва оболочки (D) и оси Ох (Е), расположенными на кратчайшем расстоянии S от оси Оу. При небольшом угле перекоса нитей ткани в оболочке дополнительная геодезическая линия  ̅u и соответствующая ей ордината у приблизительно равны между собой, так как они располагаются на поверхности на небольшом расстоянии друг от друга и соединяют одну и ту же точку линии шва оболочки (D) с осью Ох. Отсюда, подставляя в уравнение (3) у = u, находим приближенные формулы для расчета разверток оболочек из тканей с небольшим перекосом нитей на поверхности x = S + 2/3((u - ̅u²) : S); y = ̅u. (4)

 Расчет разверток оболочек с большим перекосом нитей ткани на поверхности (больше 20' - 30') производится также по формуле (3) при определении у по более точным формулам [5]
 

 у = Rаrс sin( ̅u/u sin u/R) (5) или у =  ̅u -  ̅u³/6R², (6) где R = uS/(u - ̅u).

 При расчете разверток для вогнутых поверхностей (т. е., когда u < ̅u) в формуле (5) R принимают положительным, в формуле (6) - знак минус в правой части меняют на плюс. Экспериментальная проверка формул (4) показала вполне удовлетворительные результаты при изготовлении плотно облегающих оболочек из ткани для 1/3 части поверхности шара и отдельных частей поверхности манекена. При определении у по формулам (5, 6) достаточно точные результаты получатся при расчете разверток для 1/2 части поверхностей шара и эллипсоида вращения, а также развертки из одной части для псевдосферы [5]. Полученные на основе формул Чебышева расчетные формулы (3, 4, 5, 6) позволяют определять развертки деталей одежды, которые обеспечивают заданную форму первичных образцов моделей и уменьшают расход ткани на изделия.

 Заданная форма образцов моделей обеспечивается благодаря тому, что формулы Чебышева получены, исходя из условия равновесия нитей ткани на поверхности. Экономное же расходование ткани на изделия получается вследствие того, что развертки оболочек из ткани, построенные по указанным формулам, имеют минимальную площадь.

 Необходимо учитывать, что минимальная площадь развертки зависит от положения исходных осей координат на поверхности по отношению линий швов оболочки. Например, если исходные оси составных частей оболочки полушария не совпадают с их осями симметрии, площадь этой развертки будет больше площади развертки оболочки, в которой исходные оси располагаются по осям симметрии [6].

 Другой пример: площадь развертки полочки верхней одежды больше, когда ось Оу проходит параллельно линии борта по сравнению с площадью развертки, в которой та же ось задана посередине выпуклости детали на поверхности. Следовательно, расположение исходных осей координат по ортогональным геодезическим линиям обеспечивает относительный (условный) минимум площади развертки, которая имеет минимальное значение в заданных осях координат. Это вполне отвечает условиям расчета разверток деталей одежды, при конструировании которых исходные оси координат задают, учитывая эксплуатационные, технологические и другие требования.

Определение деформации ткани в оболочке

 При расчете разверток оболочек из тканей необходимо определять не только координаты разверток и углы между ними на поверхности, но и деформацию ткани по линиям швов, с тем, чтобы иметь соответствующие параметры для изготовления оболочек. При одевании тканью неразвертывающихся поверхностей за счет изменения угла между нитями может происходить удлинение (растяжение) или сжатие (посадка) ткани по линии шва вследствие изменения длины диагоналей ячеек ткани, когда их нити отклоняются от прямого угла. Величина этой деформации (Δl) на любом участке линии шва определяется разностью между длиной данного участка l₁ в оболочке на поверхности и l₀ в развертке на плоскости (рис. IV-6, а); Δl = l₁ - l₀. (7)

 Деформация при растяжении ткани имеет положительное значение, а при посадке - отрицательное.

 Растяжение происходит, когда между нитями ткани а и Ь около линии шва угол φ больше 90' (рис. IV-6, б), а посадка, когда угол φ, меньше 90' (рис. IV-6, в). Посадку или растяжение ткани определяют на основе измерений одного и того же участка линии шва в оболочке на поверхности (l₁) и в развертке на плоскости (l₀). При определении формы, развертки с помощью вспомогательной сетки (канвы) деформацию ткани можно определять, не имея развертки оболочки, на основе измерений длины небольших участков линии шва (l₁) и соответствующих им нитей сетки (а, Ь). При этом исходят из того, что на небольшом участке длины линии шва криволинейный треугольник на поверхности приближенно можно считать плоским и прямолинейным. В таком случае стороны а и Ь прямоугольного треугольника в развертке (см. рис. IV-6, а) и косоугольного треугольника в оболочке (см. рис. IV-6, б, в) имеют одну и ту же длину. Вследствие этого длина небольшого участка линии шва в развертке l₀ = √(a² + b²). Подставляя это значение l₀ в уравнение (7), находим формулу для определения деформации малого участка линии шва в оболочке по измерениям длины этого участка и соответствующих ему нитей вспомогательной сетки на поверхности: Δl = l₁ - √(a² + b²). (8) Длина малого участка линии шва из косоугольного треугольника (см. рис. IV-6, б, в) l₁ = √(a² + b² - 2abcosφ). (9) Подставляя это значение l₁ в предыдущее уравнение (8), получаем Δl = √(a² + b² - 2abcosφ) -  √(a² + b²), или заменяя угол у между нитями его отклонением от прямого (углом перекоса нитей углом) φ = ±φ₀, находим Δl = √(a² + b² ± 2absinφ₀) - √(a² + b²). (10) Отсюда следует, что чем больше абсолютное значение угла перекоса нитей (φ₀), тем больше растяжение (при +φ₀) или посадка (при -φ₀) ткани по линии шва. Причем в зависимости от угла наклона линии шва к нитям величина деформации ткани по линии шва будет разная.

 Обозначим через α угол наклона линии шва к нити b на плоскости (см. рис. IV-6, а), а через ε = Δl/l₀ - относительную деформацию (растяжение или посадку) ткани по линии шва.

 Из прямоугольного треугольника имеем а = l₀sinα; Ь = l₀соsα.

 Подставляя это в уравнение (10) и разделив его левую и правую части на l₀, после преобразования и замены в левой части Δl/l₀ на ε, находим ε = √(1 ± sin2αsinφ₀ - 1). (11) Так как в различных деталях одежды φ₀ обычно не превышает 15', то согласно известной формуле √(a² ± х) ≈ а ± x/2a приближенно (с ошибкой, не превышающей 1%) получаем ε = ±1/2sin2αsinφ₀. (12) Как известно, синус возрастает при изменении угла от 0 до 90'. Вследствие этого из формулы (12) следует, что при одном и том же угле перекоса нитей (φ₀) деформация ткани по линии шва (ε) возрастает при изменении α от 0 до 45', при α = 0 ε = 0; при α = 45' ε = ±1/2sinφ₀. Принимая наибольшее значение α = 45', φ₀ = 15', находим, что максимальная деформация ткани в деталях одежды составляет ε = ±1/2sin15' = ± 0,13 или 13%. Такая деформация бывает в отдельных случаях на небольших участках линии шва. В большинстве случаев α < 45' и φ₀ < 15', поэтому и деформация ткани в одежде значительно меньше. Так, даже в случае, если φ₀ = 15' и α = 15', то ε = ±6,5%. Если при том же α = 15' φ₀ = 10', то ε =4%. Наконец, если α = 5', φ₀ = 5 - 10°, ε = 0,6 x 1,5%.

 Все это свидетельствует о том, что при конструировании деталей одежды необходимо обращать внимание на положение линий швов по отношению к нитям ткани, особенно при больших отклонениях угла между нитями от 90'. С уменьшением угла наклона линии шва к нитям ткани в развертке (α) происходит уменьшение этого угла в оболочке, находящейся на поверхности (γ, см. рис. IV-6, б). Поэтому выявление возможности уменьшения угла наклона линии шва к нитям ткани можно производить при определении положения швов на поверхности, т. е. до расчета и построения разверток. При этом приходится ориентироваться на положение швов относительно исходных осей координат, за счет которых можно производить уменьшение углов наклона линии шва к нитям ткани.

 Определяя положение швов и исходных осей координат, надо стремиться к тому, чтобы при значительном перекосе нитей линии швов как можно меньше отклонялись от нитей ткани. Это дает возможность обеспечить заданную объемную форму при минимальной деформации ткани на линиях швов. Вместе с этим надо учитывать эстетические и технические требования, предъявляемые к изделию. Форма линий швов должна быть красивой и не иметь заметных отклонений от образцов модели изделия.

 Должно сохраняться соответствующее расположение рисунка ткани на деталях, особенно на видных местах изделия, надетого на человека. Нельзя также нарушать технических условий раскроя в отношении расположения нитей основы и утка ткани на деталях.

 Соответствующее расположение исходных осей координат при расчете разверток определяется тем, что эти оси на поверхности одеваемого тела должны быть ортогональными геодезическими линиями, а в развертках - совпадать с направлением нитей основы и утка ткани, определяемыми техническими условиями раскроя. Ортогональные геодезические линии на поверхности, как известно, определяются с помощью геодезического угольника. Чтобы исходные оси координат совпадали с направлением нитей ткани при раскрое, необходимо производить проверку заданных осей на поверхности. Для этого определяют координаты развертки точек, по которым устанавливается направление нитей ткани в деталях согласно техническим условиям раскроя.

 Например, по техническим условиям раскроя нити ткани в спинке мужского пиджака должны проходить параллельно линии среднего среза от талии до низа. Чтобы проверить правильность расположения заданных осей координат, надо определить абсциссы развертки спинки, т. е. расстояния от оси Оу до линии шва на участке талии и низа изделия. Эти абсциссы (расстояния) при соответствующем расположении осей координат должны быть равны между собой. Если это условие не выполняется, надо уточнить расположение осей координат на поверхности.

 Определение координат при проверке исходных осей производится: на развертывающихся поверхностях измерением кратчайших расстояний геодезическим угольником, а на неразвертывающихся поверхностях - расчетным способом по формулам (4).

Расчет разверток плоских оболочек

 Положение исходных осей плоских оболочек, которые при изгибании вдвое сложенной ткани укладываются на плоскости (воротник, нижние участки рукавов, брюк и др.), устанавливается обычно непосредственно по техническим условиям раскроя, измеряя расстояния от одной из осей координат до точек, определяющих направление нитей ткани на детали. Указанные детали относятся к плоским оболочкам неразвертывающихся поверхностей. При укладывании их на плоскости ткань складывается вдвое, образуя по краям кривую линию сгиба за счет изменения угла между нитями основы и утка. Так, например, образуется кривая линия переднего края рукава верхней одежды, сгиба стойки воротника, задней половинки брюк и др.

 Кривая линия сгиба ткани в плоских оболочках образуется тремя способами:

 1. Изменением угла между нитями ткани в верхнем и нижнем участках детали при совмещении линии сгиба с направлением нитей основы или утка (рис. IV-7, а);
 2. Изменением угла между нитями ткани только одного участка детали, например верхнего (рис. IV-7, б);
 3. Изменением угла между нитями ткани в верхнем и нижнем участках без совмещения линии сгиба с направлением нитей (рис. IV-7, в).

 Плоские оболочки для расчета их разверток могут быть заданы в виде плоского шаблона или чертежа детали в готовом виде с указанием линий швов и направлений нитей ткани согласно техническим условиям раскроя.

 Развертку плоской оболочки, полученной по первому способу, можно определять графическим методом. Для этого прежде всего задают на чертеже оболочки ось Оу по линии сгиба ткани и перпендикулярно к нему ось Ох (рис. IV-8, а). На оси Оу задают ряд точек, из которых проводят абсциссы параллельно Ох. По абсциссам х₀, х₁, ..., ̅х₀, ̅х₁ и интервалам Δu между ними по оси Оу получают развертку оболочки в прямоугольных осях координат (рис. IV-8, б).

 Для определения развертки плоской оболочки, полученной по второму способу, задают прямоугольные оси координат Ох, Оу (рис. IV-9, а). В данном случае ткань при перегибании по кривой линии сжимается по линии сгиба вследствие изменения угла между нитями по этой линии. На небольшом участке между линией сгиба и осью Оу нити оси Ох располагаются по прямым наклонным линиям. Как видно из рис. IV-9, б, часть оболочки справа от оси Оу, в которой нити не имеют перекоса, уже является разверткой. Развертку остальной части оболочки можно определить графическим путем, откладывая небольшие отрезки нитей a₁, a₂, ... ̅х₀, ̅х₁ ... на продолжении абсцисс х₀, х₁ ... первой части оболочки (см. рис. IV-9, б). Развертку оболочки, полученную по третьему способу, можно определять графическим методом (рис. IV-10, а). После нанесения на чертеже оболочки исходных осей координат ху сначала находят в прямоугольных координатах развертку одной части по абсциссам х₀, х₁ ...и по интервалам Δu между ними на оси Оу (рис. IV-10, б). Далее на продолжении абсцисс первой части оболочки откладывают абсциссы х₀, х₁ ... a₁, a₂, ... второй ее части и находят развертку. При этом учитывают, что отрезки a₁, a₂, ... абсцисс между линией сгиба и осью Оу оболочки располагаются, как и при втором способе приближенно, под прямым углом к линии сгиба (см. рис. IV-10, а).

 Из полученных разверток следует, что одна и та же плоская оболочка при разных способах ее образования имеет значительно отличающиеся формы разверток (см. рис. IV-8, 9, 10). Это происходит вследствие различного расположения нитей ткани в оболочке (см. рис. IV-7). Нити оси Ох располагаются по прямым, а оси Оу - по кривым линиям.

 Криволинейное расположение нитей ткани в плоских оболочках приводит к значительным осложнениям при определении координат разверток расчетным и графическим методами. Поэтому форму разверток плоских оболочек рекомендуется определять с помощью вспомогательной сетки. В этом случае углы между нитями (сетевые углы φ) и деформация ткани определяются так же, как и в объемных оболочках. Сетевые углы определяют между нитями сетки с помощью транспортира (углы φ₁, φ₂ ... рис. IV-11). Деформацию ткани по линиям швов оболочки находят по формулам (7 и 8) на основе линейных измерений сетки или непосредственно по измерениям одних и тех же участков линии швов в оболочке и развертке.

 Во всех основных способах образования плоских оболочек нити оси Оу имеют один и тот же наклон вдоль прямых нитей оси Ох. Поэтому сетевые углы φ и углы перекоса нитей (φ₀ = 90' - φ) изменяются вдоль нитей оси Оу, вдоль нитей оси Ох они имеют постоянное значение.

 Угол перекоса φ₀ определяется углом между полухордой АD линии сгиба ткани и касательной АВ изогнутой нити (см. рис. IV-11, а). В начале осей координат угол перекоса φ₀ равен 0, в конце линии сгиба ткани он имеет наибольшую величину, которая определяется по формуле tg(φ₀/2) = k(2f - f₁)/2a (13) или приближенно (для φ₀ < 30' с точностью до 2%) φ₀ = k(2f - f₁)/a, (14) где к - коэффициент, учитывающий кривизну линии сгиба ткани: для прямой линии сгиба к = 1,0; для кривой - приблизительно 2,0; f и а - стрела прогиба СО и полухорда кривой АС линии сгиба ткани (рис. IV-11, а) или проекция на ось Ох и нормаль к этой оси прямой линии сгиба ткани (рис. IV-11, б); f₁ - стрела прогиба ВО оси Оу для третьего способа образования линии сгиба.

 Для первого способа f₁ = f  φ₀ = kf/a. (14а)

 Для второго способа f₁ = 0  φ₀ = 2kf/a (14б)

 Из формулы (14) следует, что угол перекоса нитей в два раза меньше при сгибании ткани по прямой линии (к = 1), чем при сгибании ее по кривой линии (к ≈ 2).

 Поэтому в оболочках с кривой линией сгиба угол перекоса может быть уменьшен за счет увеличения кривизны линии сгиба около оси Ох и выпрямления ее в противоположном конце по касательной искривленного участка (рис. IV-11, в). Следовательно, угол перекоса нитей изменяется в зависимости от формы кривой линии сгиба ткани, и результаты расчета по формулам (14) при к = 2 являются ориентировочными.

 Из формулы (14 а) и (14 б) следует, что угол перекоса нитей φ₀ при втором способе в два раза больше, чем при первом. Перекос нитей при втором способе может быть уменьшен, если по техническим условиям раскроя ось Оx в нижней части оболочки располагается в конце линии сгиба (рис. IV-12, а), а в верхней ее части может быть задана своя ось О₁хд посередине линии сгиба (рис. IV-12, б). Отсюда видно, что дуга АВ, которой определяется угол перекоса нитей ̅φ₀ при дополнительной оси О₁хд в два раза меньше по сравнению с дугой АС, определяющей угол перекоса φ₀ при основной оси Ох. Это происходит вследствие поворота нити ОС на угол φ₀/2, на который уменьшается угол перекоса в другом конце линии сгиба, т. е. в точке О (см. рис. IV-12, б). В соответствии с этим при дополнительной оси О₁хд будет в два раза меньше наибольший угол перекоса нитей в оболочке, полученной по второму способу. Он будет иметь приблизительно такую же величину, как и при первом способе образования линии сгиба ткани, когда при этом способе ось Ох располагается так же в конце линии сгиба оболочки.

 Из формулы (14; 14а; 14б) следует, что третий способ образования линии сгиба плоских оболочек дает угол перекоса нитей ткани больше, чем первый, и меньше, чем второй способ. При данном способе угол перекоса меньше в нижней части оболочки, чем в верхней.

 Третий способ образования кривой линии сгиба ткани, так же как и второй способ, допускает уменьшение угла перекоса нитей за счет переноса осей координат верхней части оболочки на середину линии сгиба (рис. IV-12).

 С уменьшением угла перекоса во всех рассмотренных случаях уменьшается деформация ткани по линии ее сгиба, величина которой ∆l вдоль оси Оу (или нормали к оси Ох, см. рис. 11) определяется по формуле ∆l = ftgφ₀ (15) или приближенно ∆l = kf(2f - f₁)/a. (16)

 По формуле (16) определяется величина смещения вспомогательной сетки в концах линии сгиба оболочки в сторону оси Ох при определении разверток плоских оболочек с помощью сетки. Величину деформации по линиям швов, как указывалось выше, определяют по формулам (7 и 8) на основе измерений вспомогательной сетки. При этом необходимо учитывать, что при всех способах образования плоских оболочек можно изменять величину деформации ткани по линии шва за счет изгибания нитей оси Ох в тех участках оболочки, где изогнутые нити оси Оу не связаны с осью Ох (не проходят через нее, рис. IV-13). Таким образом можно свести к нулю деформацию ткани по линии шва. Вопрос о степени искривления нитей решается с помощью вспомогательной сетки искривлением ее нитей.

 Полученные выше формулы (14, 16) для определения угла перекоса нитей и деформации ткани, а также рассмотренные возможности уменьшения этого угла и деформации ткани справедливы также в случае, когда кривая линия сгиба оболочки имеет выпуклую форму. Если же линия сгиба имеет выпукло-вогнутую форму, ее разбивают на несколько участков, концы которых располагают в точках перегиба. Примеры применения изложенных выше методов расчета плоских оболочек при конструировании деталей одежды (рукавов, воротников, деталей брюк) рассмотрены ниже.

Расчет разверток с учетом толщины ткани

 При изложении методов расчета разверток различных оболочек не учитывалась толщина ткани. Между тем при одевании кривых поверхностей толстыми тканями размеры разверток могут оказаться недостаточно точными. Они могут быть несколько меньше, когда расчет ведется по измерениям одеваемой поверхности и больше, когда измерения производят по поверхности оболочки. Для точного определения размеров разверток измерение поверхности надо производить посередине толщины ткани оболочки. Однако для этого необходимо одеть поверхность вспомогательной оболочкой из материала, толщина которого наполовину меньше толщины ткани основной оболочки. Таким образом можно устанавливать поправочные коэффициенты для расчета разверток типовых деталей, встречающихся в одежде и других изделиях. Но так как этих данных пока нет и их нельзя установить для всех случаев, необходимо рассмотреть расчетные методы определения координат развертки с учетом толщины ткани. Эти координаты можно определять по ранее полученным формулам (4, 5, 6), подставляя в них длину геодезических линий поверхности, установленные с учетом толщины ткани; или путем уточнения координат развертки, полученных на основе измерения поверхности с помощью вспомогательной сетки. В связи с тем, что этот расчет ведется по аналогичным формулам, достаточно рассмотреть только один из указанных двух способов.

 Для определения координат разверток с учетом толщины ткани по второму способу измеряют на поверхности с помощью кронциркуля или штангенциркуля расстояния между точками пересечения осей координат и линий швов нитями сетки, совмещенной с поверхностью. Иначе говоря, измеряют на поверхности хорды, стягивающие отдельные абсциссы и ординаты по нитям сетки. После снятия сетки с поверхности определяют координаты развертки по тем - же нитям сетки. Таким образом получают длину хорд, расположенных по прямым линиям, и длину соответствующих им пространственных кривых линий, которыми определяются координаты развертки. Чтобы перейти к плоским кривым линиям, выделим на поверхности, покрытой оболочкой из толстой ткани, узкую полоску с нитью основы или утка посередине, имеющую длину, соответствующую какой-либо ординате или абсциссе оболочки. Закрепим концы этой полоски на плоскости так, чтобы расстояние между ними было равно хорде пространственной кривой линии, которую имеет нить полоски на поверхности. Изгибая узкую полоску, ее очевидно, можно расположить по различным плоским кривым линиям и, в частности, по дуге окружности (рис. IV-14).

 Обозначим через Rc - радиус дуги средней линии полоски; х и ̅x или у и ̅y - длину полоски по внешней и средней линиям; δ - толщину ткани; а - хорду дуги окружности; α - центральный угол дуги окружности.

 Из рис. IV-14 имеем а = Rcsin α/2, х = αRc, отсюда, исключив Rc получаем аα = 2хsin α/2.

 Раскладывая в ряд sin α/2 = α/2 - α³/(8 x 31) + α⁵/(32 x 51) - ... и подставляя два первых члена ряда в предыдущее уравнение, находим приближенное (погрешности меньше α⁴/4000 при α < 1) формулу (6) α = ±√(24(x - a)/a). (17) Из того же рисунка имеем x = α(Rc + δ/2), но, так как Rc = ̅x/α, ̅x = x - α δ/2.

 Заменяя α по формуле (17), находим формулы для расчета разверток с учетом толщины ткани: ̅x = x ± δ/2√(24(х - а)/x); ̅y = y ± δ/2√(24(y - а)/x) (18)

 Знак минус перед δ берут при расчете разверток по измерениям внешней поверхности оболочки, а плюс - по измерениям поверхности одеваемого тела.

 Чтобы учесть толщину ткани при расчете разверток по геодезическим линиям (по формулам 3, 4, 5), надо подставлять в эти формулы уточненные значения геодезических u, s, u по формулам, аналогичным указанным выше (18).

 На основе расчета по формуле ∆х₀ = πδ решается вопрос о необходимости определения координат развертки отдельных деталей с учетом толщины ткани. Например, при толщине ткани в 1 мм получаем ∆х₀ = 3,14 мм. При распределении этой величины по 4 - 6 деталям (полочкам, спинкам и др.) на каждую деталь в среднем приходится меньше 1 мм, что для изделий из тканей не имеет практического значения. Уточнение координат разверток деталей необходимо производить на толстых тканях толщиной 2 - 3 мм, где ∆х₀ = 6 - 9 мм.

Расчет разверток многослойных оболочек

 Толщину ткани учитывают также при расчете многослойных оболочек. В тех случаях, когда эти оболочки имеют большие размеры, расчет разверток производят по поверхности модели, изготовленной в уменьшенном масштабе. Наличие определенной зависимости координат разверток от геодезических линий поверхности (4, 5, 6) позволяет производить расчет разверток оболочек по моделям на основе геометрического подобия. Коэффициенты перехода от развертки, полученной по модели поверхности, к натуральным ее размерам определяется отношением размеров натуральной развертки к размерам развертки модели по исходным осям координат Ох и Оу.

 Эти размеры определяют измерением поверхности натуральной и модели по ортогональным геодезическим линиям исходных осей координат. Координаты натуральной развертки определяют по следующим формулам, полученным, исходя из геометрического подобия xн = λxxм, yн = λyyм, (19) λx = Sо.н/Sо.м или λy = uо.н/uо.м, (20) где xн, yн - координаты натуральной развертки; xм, yм - координаты развертки модели, которые определяют по формулам (4, 5, 6) или с помощью вспомогательной сетки; Sо.н, uо.н и Sо.н, uо.м - ортогональные геодезические линии исходных осей координат натуральной поверхности и модели; λx - коэффициент перехода по оси Ох, λy - по оси Оу.

 В многослойных оболочках координаты разверток модели xм, yм и натуральной поверхности xн, yн возрастают с увеличением количества слоев ткани. Рассуждая так же, как и при выводе формул (18), координаты натуральных разверток отдельных слоев каждой составной части многослойной оболочки можно представить в виде дуг окружностей некоторого начального радиуса R, возрастающего по мере увеличения слоев оболочки (рис. IV-15). При одной и той же толщине каждого слоя и постоянном центральном угле α дуг окружности xн₁, xн₂ разность между этими абсциссами при переходе от одного слоя к другому, очевидно, будет постоянная: ∆х = хн₂ - хн₁ = хн₃ - х₂ = ... (21) Отсюда для определения абсцисс и ординат каждого слоя ткани имеем хн₂ = хн₁ + ∆х, хн₃ = хн₂ + ∆х ... (22) ун₂ = ун₁ + ∆у, ун₃ = ун₂ + ∆у, ...

 Первые координаты натуральной развертки хн₁, ун₁ определяются по формулам (19, 20).

 Приращения координат ∆х, ∆у при переходе от одного слоя оболочки к другому определяются так же, как в однослойной оболочке, с учетом толщины ткани: ∆х = h/2√(24(хн₁ - a)/хн₁); ∆y = h/2√(24(yн₁ - a)/yн₁). (23)

 Приращения ∆х и ∆у можно также определять экспериментально путем изготовления многослойной оболочки на поверхности модели. В этом случае в процессе изготовления оболочки на поверхности модели через каждые несколько слоев ткани определяют координаты разверток; вычитают из координат следующих слоев оболочки координаты предыдущих слоев; находят соответствующие приращения ∆х, ∆у. Прибавляя эти приращения к соответствующим координатам натуральных разверток, получают развертки отдельных слоев натуральной оболочки.

 При конструировании многослойных оболочек развертывающихся поверхностей (цилиндра, конуса) приращения ∆х, ∆у принимают одинаковые для всех координат развертки данной составной части оболочки. На неразвертывающихся поверхностях для отдельных координат развертки каждой составной части многослойной оболочки в отдельности надо определять свои приращения ∆х, ∆у. Некоторые многослойные оболочки имеют разную толщину слоев ткани, они состоят из основных частей, покрывающих всю поверхность, и дополнительных частей, создающих утолщения оболочек (рис. IV-16). Расчет разверток таких оболочек производят в процессе изготовления оболочки на поверхности модели. Определение натуральных разверток первых основных и дополнительных частей оболочки выполняют по формулам (19, 20, 23), принимая координаты xм, yм и приращения ∆х, ∆у по разверткам оболочки модели. После образования неодинакового слоя оболочки приращения координат разверток (натуральной и модели) изменяются вследствие того, что центральные углы α₁, α₂ дуг окружности преобразованных координат разверток отличаются от первоначального угла α (см. рис. IV-16)**. Однако хорды этих дуг сохраняют первоначальную длину (a и λxa). Кроме того, имеется возможность определить стрелы прогиба этих дуг (f₁ и f₂). Благодаря этому координаты натуральной развертки можно определять по приближенной формуле длины дуги окружности:
 

 (24)

По этой же формуле для координат развертки модели имеем
 

Кроме того, по точным формулам
 

где F - толщина слоев дополнительных частей оболочки, которая определяется измерением на поверхности модели.

 Решая три последних уравнения совместно, находим
 

 (24, а)

 Так же находим для определения ординат
 

 (25)  (25, а)

 Расчет по этим формулам, как и по предыдущим, ведется по измерениям внешней поверхности слоя, для которого определяется развертка. Причем в формулах не учтена толщина первого слоя (h/2) с тем, чтобы иметь небольшой припуск в развертках на случай неточности расчета.