В жизни мы постоянно наблюдаем, что чаще всего встречаются люди среднего роста. Люди же очень большого или очень малого роста встречаются сравнительно редко. Можно заметить также, что людей выше среднего и ниже среднего роста примерно одно и то же количество. То же можно сказать и о других размерах тела. Это свидетельствует о наличии определенной закономерности в распределении размерных признаков.

Первая закономерность

 Распределение большинства размерных признаков тела весьма близко к нормальному.

 Под нормальным распределением понимают определенную функциональную зависимость между величиной признака и частотой его встречаемости. Как и другие функциональные зависимости между двумя переменными, она может быть выражена в табличной форме, графически и аналитически.

 В качестве примера нормального распределения в табл. 1-2 показано распределение длины тела (роста) при следующих статистических параметрах: средней арифметической роста М = 167 см и среднем квадратическом отклонении σ = 6 см, взятое из статьи М. В. Игнатьева.

 В первой графе таблицы приведены значения классов признака, на которые он разбивается для удобства выражения. В третьей графе приведены численности этих классов.

 Графическое изображение нормального распределения (рис. 1-11) можно построить по точкам, откладывая по оси абсцисс значения признаков, а на оси ординат их численности и соединяя точки плавной кривой линией. Эта кривая называется кривой нормального распределения или кривой Гаусса - Ляпунова.

 Из рисунка видно, что кривая нормального распределения одновершинна и симметрична относительно средней арифметической (М). Ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс.

 Площадь, ограниченная кривой, осью абсцисс и ординатами в пределах +-2/3σ, равна 50% площади, ограниченной всей кривой; в пределах +-σ - около 68% площади; в пределах +-2σ - 95,5%; в пределах +- 3σ - 99,97% («правило трех сигм»). Этими свойствами кривой нормального распределения пользуются при расчетах размерно-ростовочного ассортимента одежды для определения необходимого числа размеров при заданной величине удовлетворенности размерами и для решения обратной задачи.

 Формула кривой имеет вид: , где y - число, показывающее, как часто встречается данный признак (частота встречаемости);

•  σ - среднее квадратическое отклонение, см;
•  е - основание натуральных логарифмов;
•  М - средняя арифметическая признака, см;
•  х - переменное значение признака, см. 

 Выражение распределения размерных признаков тела законом нормального распределения значительно упрощает задачу антропологической стандартизации.

 Расчеты, основанные на нормальном распределении, в частности определение числа людей, имеющих те или иные размеры, могут быть выполнены при помощи специальных таблиц площадей (интегралов) нормальной кривой, имеющихся в руководствах по математической статистике и в приложении 4 к статье М. В. Игнатьева [таблице функции Ф (t)].

 Чтобы пользоваться этими таблицами, необходимо предварительно выразить значения признака в виде отклонений от средних арифметических, деленных на свои средние квадратические отклонения. Такая операция называется нормированием: t = (х - М) : σ.

 Численности нормального распределения можно определить также при помощи номограммы М. В. Игнатьева (рис. 1-12).

 На номограмме нанесены 3 шкалы; на крайних шкалах отложены нормированные отклонения признака от средней величины t₁ и t₂, на средней - численность признака нормального распределения Рx(%).

 Если внутри интервала находится значение средней арифметической, то номограммой приходится пользоваться дважды: первый раз для определения численности в пределах от 0 до отрицательного отклонения, второй раз от 0 до положительного; полученные результаты складывают.

 Для примера на рис. 1-13 приведены кривые распределения роста мужчин и женщин. Сопоставление наблюдаемых (эмпирических) распределений в виде ломаных линий и плавных нормальных кривых показывает, что они мало отличаются.

Вторая закономерность

 Для построения системы размерных стандартов имеет значение не только распределение признаков, но и распределение их сочетаний. Работами Института антропологии доказано, что сочетаниям размерных признаков также свойственно нормальное распределение. Это означает, что среди населения чаще встречаются люди среднего роста со средним обхватом груди, чем люди со средним ростом и очень большим или очень малым обхватом груди и наоборот.

 Геометрическим изображением нормального распределения сочетаний двух признаков является уже не кривая, а поверхность, называемая поверхностью нормального распределения или нормальной корреляционной поверхностью (рис. 1-14, а).

 Поверхность нормального распределения может быть построена на основе данных корреляционной таблицы (табл. 1-3), полученной в результате статистической обработки материалов массового обмера населения или теоретических расчетов.

 В таблице показана численность сочетаний данных значений обхвата груди и роста в расчете на 1000 человек. Например, количество людей, имеющих сочетание размеров Ог = 88 см и Р = 167 см, равно 46, а Ог = 80 см, Р = 161 см имеют 6 человек и т. д.

 Построение нормальной корреляционной поверхности можно представить следующим образом. Принять таблицу за основание поверхности, из каждой клеточки восстановить перпендикуляры к основанию, на которых отложить отрезки высотой пропорционально указанным в клеточках численностям. Поверхность, покрывающая концы этих отрезков, и будет поверхностью нормального распределения.

 Сечения поверхности вертикальными плоскостями параллельно оси х или у дают кривые нормального распределения одного размерного признака при постоянстве другого (рис. 1-14, б). Горизонтальные сечения поверхности нормального распределения плоскостями параллельно основанию образуют эллипсы. Они называются корреляционными эллипсами (рис. 1-14, в).

 НИИ антропологии доказано, что выводы, полученные относительно законов распределения пар антропологических признаков, распространимы на сочетания трех и более признаков.

Третья закономерность

 Следствием нормального распределения признаков является прямолинейная (нормальная) связь между размерными признаками - нормальная корреляция.

 Нормальная связь выражается в том, что при последовательном увеличении или уменьшении одного признака другой признак также увеличивается или уменьшается на какую-то постоянную величину.

 Связь между обхватом груди и ростом видна из табл. 1-3. Так, с увеличением роста средний обхват груди тоже увеличивается. Например, для роста 161 см значения обхвата груди группируются около 86 см, для роста 164 см - около 87 см, для роста 167 см - около 88 см и т. д.

 Всякий раз при увеличении роста на 3 см средний обхват груди увеличивается на 1 см. То же явление происходит и со значениями роста при изменении обхвата груди: с увеличением обхвата груди на 2 см средний рост увеличивается на 1,5 см. Такая форма связи называется прямолинейной, так как графически изображается прямой линией, называемой регрессией (рис. 1-15). Уравнение этой прямой имеет вид простейшей регрессии х₁ = а₁ + а₂х₂.

 По этому уравнению путем несложных расчетов можно определить среднее значение одного признака (х₁) по заданному значению другого (х₂).

 Зависимость одного признака (х₁) от двух других (х₂ и х₃) можно определить по уравнению множественной регрессии: х₁ = а₁ + а₂х₂ + а₃х₃.

 В этих уравнениях коэффициенты а₂ и а₃ называются коэффициентами регрессии. Коэффициент регрессии показывает, на какую абсолютную величину (в см) изменяется один признак при изменении другого, с ним связанного, на 1 см.